Matematyka o istnieniu Boga

Jeżeli tedy wszechświat jest na tyle uładzony w swoim wewnętrznym schemacie przyczynowania, na ile tego wymaga twierdzenie Meyera, to Bóg – Pierwsza Przyczyna – istnieje! – pisze prof. Jacek KORONACKI

.Niedawno wspominałem na łamach „Wszystko co Najważniejsze” o wykładzie wygłoszonym przez Maxa Webera na Uniwersytecie Monachijskim w 1917 roku [patrz: „Historia ChatGPT…” LINK >>>]. Nie wiem, czy słuchacze – i również czytelnicy, ponieważ wykład został opublikowany dwa lata później – podzielali wówczas stanowisko wybitnego myśliciela. Weber ubolewał nad tym, że nauki przyrodnicze zamknęły się w naturalistycznych ramach, mówią, „co powinniśmy czynić, aby opanować życie w sposób techniczny. Nie dają one jednak odpowiedzi na pytanie […], czy naprawdę chcemy i czy powinniśmy opanowywać życie w ten sposób oraz czy ma to w ogóle jakiś sens”. A powinni byli podzielać jego obawy – czas pokazał, że miał rację. Mianowicie takiemu rozwojowi nauki musiała towarzyszyć utrata poczucia sensu życia w świecie niczym nieokiełznanego postępu technicznego. Także nauki humanistyczne uległy fetyszowi pytania „jak coś jest” i rezygnacji z pytania „dlaczego coś jest”. Arystotelik-tomista powie, że wyrugowane zostało pytanie o przyczyny celowe, ale to również pytanie o sens życia, o naturę człowieka. Wyrugowane zostało pytanie o ład – ład duszy, której zresztą po prostu nie ma, oraz ład kosmosu z maleńkim człowiekiem gdzieś tam w nim zawieszonym na krótszą czy nieco dłuższą chwilę. Święty Ireneusz z Lyonu przestrzegał ponad 1800 lat temu (w dziele Przeciw herezjom, ks. 2, rozdz. XXV): „Jeśli oddasz się refleksji przeciwnej twojej naturze, staniesz się głupcem, a jeśli będziesz trwał na tej drodze, popadniesz w prawdziwy obłęd”.

Człowiekowi Zachodu proponuje się dziś popadnięcie w obłęd nienawiści do własnej historii i do rodzaju ludzkiego, obłęd zanegowania w nas człowieczeństwa. Ma ten człowiek być pozbawionym sensu dziełem przypadku, błąkającym się po bezsensownym świecie (poświęciłem temu procesowi połowę książki pod tytułem Między obłędem a trwaniem i nie będę się nad nim tutaj rozwodzić). Ale czy tak być musi?

Nauki przyrodnicze zasadzają się na tym, że szukają odpowiedzi na pytania o przyczyny obserwowanych zjawisk – „jak coś jest”. Przyczyny te nazywać będziemy przyczynami sprawczymi. Jeśli regularnie przynoszą one ten sam efekt, to ten efekt jest celowy. Skoro z żołędzi rodzą się dęby, to te żołędzie są „agentami”, których działanie ma cel – ten właśnie, by powstały z nich dęby. Nie musimy przy tym od razu pytać, czy to jakiś „ktoś” przydał owemu żołędziowi taki, a nie inny cel jego życia. Ale też nie da się zaprzeczyć, że obserwowanie wszechobecnych w przyrodzie objawów celowości, tkwiącej już w samym powstaniu życia i doskonaleniu jego form, sprawia, że od takiego pytania niełatwo się uwolnić. Wszak oświecenie, chcąc usunąć z badania naukowego pytanie o wspomnianego „ktosia”, całkowicie wykluczyło pytania o przyczyny celowe, nawet jeśli wąsko – nie wykraczając poza naturalizm – rozumiane. W pewnym sensie słusznie – skoro nasza wiedza ma się zamknąć w naturalistycznych ramach, jak gdyby Boga (na pewno) nie było, to i celowości w przyrodzie nie należy się doszukiwać. A to z tej prostej przyczyny, że jej dostrzeżenie to przy głębszym namyśle tyle, co uznanie istnienia sprawczego umysłu, który świat i nas stworzył oraz utrzymuje w istnieniu. Bo też jak w tym, co przypadkowe i pozbawione inteligencji, odnaleźć atrybut celowości?

Przywykliśmy tedy do badania tylko przyczyn sprawczych. Ostatnie wieki przyniosły imponujący rozwój naszej wiedzy o świecie. Wszystko, co widzimy i badamy, okazuje się skutkiem działania jakiejś przyczyny. Pod koniec XIII wieku św. Tomasz z Akwinu pisał, że stwierdzamy „w świecie zjawisk zmysłowych łańcuch podporządkowanych przyczyn sprawczych. Nigdzie jednak nie spotykamy, no i to niemożliwe, by coś było przyczyną sprawczą siebie samego; istniałoby przecież wcześniej od siebie samego, co jest niemożliwe”.

Tak zaczyna się druga z tzw. pięciu dróg św. Tomasza, czyli drugi z jego pięciu rozumowych dowodów na istnienie Boga, nieodwołujących się do wiary, do Objawienia. To dowód zwany dowodem z przyczynowości. Akwinata słusznie w nim zauważał, że wszystkie te występujące w łańcuchu przyczyny sprawcze są „pochodne” w tym sensie, że każda jest skutkiem przyczyny ją poprzedzającej. I starał się stąd wywieść, że taki łańcuch musi mieć element pierwszy, który ma w sobie moc sprawczą i sam już przyczyny sprawczej nie potrzebuje. Albowiem jakkolwiek byłby ten łańcuch długi, nie byłoby sprawczości – i świata – gdyby nie było tego elementu pierwszego, Pierwszej Przyczyny. Rzecz w tym, że każdy element kolejny swoją sprawczość zawdzięcza elementowi go poprzedzającemu i nie ma tej sprawczości w sobie. Skądś więc ta sprawczość musi pochodzić – właśnie z Pierwszej Przyczyny, która sama ma rzeczoną moc sprawczą. Św. Tomasz sądził niesłusznie, że to znaczy, iż taki łańcuch musi być skończony, ale to nie jest tu ważne – po pierwsze, także ciąg o nieskończonej długości może mieć element pierwszy, i po drugie, powyższy wywód nic nie straciłby na założeniu, że Pierwsza Przyczyna nie musi być elementem analizowanego łańcucha przyczyn sprawczych, obojętne, czy skończonego, czy nie. Sedno wywodu tkwi w tym, że obserwowana przez nas sprawczość pochodna musi za źródło swojej sprawczości mieć „coś”, co samo w sobie ma moc sprawczą. Oto ostatnie zdanie dowodu Tomasza: „A więc musimy przyjąć istnienie jakiejś pierwszej przyczyny sprawczej, którą wszyscy nazywają: Bóg”.

Tomaszowych pięć dróg znalazło się w jego Sumie teologicznej (zagadnienie 2, art. 3). Tekst pięciu dróg to tylko lapidarne autostreszczenie myśli Akwinaty – właściwe odczytanie tej myśli wymaga sięgnięcia do innych partii Sumy teologicznej oraz jego innych dzieł, zwłaszcza Sumy przeciwko poganom. Na przykład Doktor Anielski (tak go nazwał Kościół) nie chciał ułożyć wszystkich bytów, z których każdy zaistniał za sprawą jakiejś przyczyny sprawczej, w jeden jedyny ciąg, uporządkowany zgodnie z jednym jedynym „łańcuch[em] podporządkowanych przyczyn sprawczych”. Niemniej takie wrażenie można odnieść, przeczytawszy tekst drugiej drogi i nie zajrzawszy gdzie indziej. Takich łańcuchów jest oczywiście niewyobrażalnie wiele. Ale jeśli tak, to trzeba jeszcze odpowiedzieć na pytanie, czy zatem mamy jedną Pierwszą Przyczynę (Boga), czy… niewyobrażalnie wiele. W dziełach Akwinaty znajdujemy rozumowe uzasadnienie tego, że Bóg jest jeden.

Przytoczyłem tę Tomaszową drugą drogę, liczącą 725 lat, by naszkicować, jak w owym czasie filozof poszukiwał ładu w świecie – ładu, który czynił świat racjonalnym, czyli poznawalnym rozumowo, i tym sposobem przydawał sens temu światu i w nim człowiekowi. Fascynujące jest, że to poszukiwanie zawsze „kończyło się” na Bogu Stworzycielu, czy to gdy wychodziło się z obserwowanej w przyrodzie celowości, czy tylko z przyczynowości (czy jeszcze skądinąd – np. św. Tomasz znalazł pięć takich dróg). Dzieło Tomasza było potem komentowane i rozwijane przez coraz mniejszą garstkę filozofów tomistów, i tak jest po dziś dzień. A co o tym poszukiwaniu ładu może powiedzieć matematyk – na przykładzie owej drugiej drogi? Otóż zarówno ta druga, jak i tu pominięta droga pierwsza aż proszą się o ich ścisłe wyprowadzenie z lematu Kuratowskiego-Zorna z teorii mnogości (inaczej – teorii zbiorów; lemat to wedle obowiązującej nomenklatury twierdzenie pomocnicze, z tym że w tym przypadku mamy faktycznie do czynienia z twierdzeniem, i to twierdzeniem niezwykłej wagi)[1]. Dokonał tego matematyk australijski Robert K. Meyer w artykule God exists!, w czasopiśmie „Noûs” (wyd. Wiley, tom 21, nr 3, wrzesień 1987, s 345–361).

Wspomnieliśmy już o zbiorze wszystkich bytów – dalej powiemy: elementów – z których każdy zaistniał za sprawą jakiejś przyczyny sprawczej. Zwróciliśmy już też uwagę, że w tym zbiorze potrafimy dostrzec wiele – zapewne niewyobrażalnie wiele – ciągów elementów uporządkowanych zgodnie z łańcuchami „podporządkowanych przyczyn sprawczych” (by użyć sformułowania Akwinaty). W języku matematyki możemy to ująć precyzyjnie, przywołując pojęcie zbioru częściowo uporządkowanego[2].

Chcąc wprowadzić potrzebną nam definicję, najpierw niezbyt formalnie powiemy, że relacja dwuelementowa to tyle, co wynika z tej nazwy – to relacja wiążąca dwa elementy zbioru. W naszym przypadku będzie to relacja wprowadzająca pewien porządek wśród elementów zbioru: wziąwszy jego dwa elementy, może być tak, że jeden poprzedza drugi i mówimy wówczas, że jeden jest wcześniejszy niż drugi, choć mówiąc „wcześniejszy”, wcale nie mamy na myśli uporządkowania w czasie, lecz uporządkowanie w rozpatrywanym zbiorze. Zauważmy, że wtedy o tym drugim elemencie możemy powiedzieć, iż jest późniejszy. Relację tę nazwiemy relacją porządkującą. I teraz już ściśle wyrażona definicja: Zbiór P nazywa się częściowo uporządkowanym przez dwuelementową relację między jego elementami – przy czym relację tę nazywać będziemy porządkującą, a elementy zbioru oznaczymy literami x, y, z – jeśli spełnione są następujące trzy warunki: każdy element zbioru jest związany tą relacją z samym sobą[3]; jeżeli element x jest wcześniejszy od elementu y i jednocześnie jest odwrotnie, czyli element y jest wcześniejszy od elementu x, to elementy te są sobie równe; wreszcie jeżeli element x jest wcześniejszy od elementu y oraz element y jest wcześniejszy od elementu z, to element x jest wcześniejszy od elementu z.

Należy podkreślić, że nie każda para elementów zbioru musi być związana relacją porządkującą. Może być tak, że w zbiorze istnieją takie pary jego elementów, powiedzmy element x oraz element y, które nie są nią związane, czyli nie jest prawdą ani to, że element x jest wcześniejszy od elementu y, ani to, że element y jest wcześniejszy od elementu x. Stąd w definicji pojawiło się określenie, że chodzi o porządek „częściowy”. Rzecz jasna, w zbiorze częściowo uporządkowanym możemy zwykle wyróżnić podzbiory, w których dla każdych dwóch elementów x oraz y danego podzbioru albo element x jest wcześniejszy od elementu y, albo element y jest wcześniejszy od elementu x. Takie podzbiory nazywamy łańcuchami. To pojęcie łańcuchów doskonale odpowiada łańcuchom z drogi św. Tomasza. Z kolei porządek częściowy sprawia, że takich łańcuchów może być wiele, a między tymi łańcuchami żadnego porządku już nie ma.

Jak łatwo się domyślić, chodzi nam przeto o wykazanie, że w zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje element najwcześniejszy, czyli taki, dla którego nie ma wcześniejszego (w świetle pierwszego warunku definiującego relację porządkującą należy dodać: poza nim samym). Element taki nazywać będziemy minimalnym. Święty Tomasz nazwał ten element Pierwszą Przyczyną. Stwierdzenie istnienia elementu minimalnego wymaga poczynienia jeszcze dwóch dodatkowych założeń o strukturze interesującego nas zbioru. Przy tym Robert Meyer trafnie powiedział, że chodzi tu w istocie o zbiór wszystkich bytów (rzeczy, zjawisk, stanów „tego czy owego”), jakie są lub były we wszechświecie.

Ażeby sformułować pierwsze z tych dodatkowych założeń, potrzebne nam są jeszcze kolejne definicje. Oto zatem one. Mówimy, że łańcuch jest ograniczony z dołu, jeżeli w zbiorze istnieje element v, niekoniecznie należący do tego łańcucha, który jest wcześniejszy od wszystkich elementów tego łańcucha. Mówimy wówczas, że łańcuch jest ograniczony z dołu, a jego ograniczeniem dolnym jest element v. W tym miejscu należy podkreślić, że jest to wymaganie nieporównanie słabsze niż wymaganie, by to sam ten łańcuch zawierał element najwcześniejszy. Założenie to mówi, że dla każdego łańcucha przyczyn istnieje przyczyna wcześniejsza od każdej przyczyny z tego łańcucha. Ta przyczyna wcześniejsza od każdej przyczyny należącej do łańcucha może, ale nie musi być elementem łańcucha.

I wreszcie możemy zastosować lemat Kuratowskiego-Zorna, który mówi: w dowolnym zbiorze częściowo uporządkowanym, w którym każdy łańcuch jest ograniczony z dołu, istnieje co najmniej jeden element minimalny (czyli najwcześniejszy w całym zbiorze)[4].

Krótko mówiąc, jeżeli uznać, że zbiór wszystkich bytów, jakie są lub były we wszechświecie, spełnia założenia lematu Kuratowskiego-Zorna, to zbiór ten zawiera w sobie elementy minimalne, czyli… Pierwsze Przyczyny. One po prostu są! Ale niekoniecznie jest to jedna jedyna Pierwsza Przyczyna. Meyer pokazał, że brakuje nam jeszcze jednego, dodatkowego założenia, by uzyskać to, o co nam chodzi.

Oto zatem ostatnie potrzebne nam założenie. Mówimy, że zbiór częściowo uporządkowany ma własność skierowania, jeżeli dla każdych dwóch jego elementów x oraz y istnieje element, który jest wcześniejszy zarówno od elementu x, jak i od elementu y. Zauważmy, że założenie własności skierowania można uznać za bardzo słabe – wszak elementy x oraz y nie muszą pozostawać ze sobą w żadnej relacji uporządkowania. Jest tak np. wtedy, gdy elementy x oraz y istnieją w różnych łańcuchach przyczynowych, ale te łańcuchy mają wspólny element z, który w jednym łańcuchu jest wcześniejszy od elementu x, a w drugim od elementu y.

Meyer udowodnił, że ta dodatkowa własność skierowania zbioru wystarcza, by element minimalny tego zbioru był jedyny. Ostatecznie zatem, jeśli założyć, że zbiór wszystkich bytów, które są lub były we wszechświecie, jest częściowo uporządkowany, każdy jego łańcuch jest ograniczony z dołu oraz zbiór ma własność skierowania, to zbiór ten ma jedyny element minimalny. Jest to element wcześniejszy od każdego bez wyjątku elementu zbioru. Jeżeli tedy wszechświat jest na tyle uładzony w swoim wewnętrznym schemacie przyczynowania, na ile tego wymaga twierdzenie Meyera, to Bóg – Pierwsza Przyczyna – istnieje!

Warto tu jeszcze coś dodać o ładzie świata, który jest potrzebny, by z niego wynikało istnienie Boga – Pierwszej Przyczyny. Otóż lemat Kuratowskiego-Zorna jest równoważny tzw. pewnikowi wyboru, który powiada, że dla każdej rodziny niepustych zbiorów parami rozłącznych istnieje zbiór, który zawiera po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do tej rodziny (para zbiorów rozłącznych to takie dwa zbiory, które nie mają elementów wspólnych). W swojej pracy Meyer bardzo długo pisze wyłącznie o pewniku wyboru i dopiero w samym dowodzie swojego twierdzenia zaznacza, że korzysta z odpowiedniej postaci tego pewnika – właśnie z lematu Kuratowskiego-Zorna. Zapewne uznał, że pewnik wyboru jest jeszcze bliższy intuicji niż wymieniony lemat (należy w tym miejscu wspomnieć, że pewnik wyboru prowadzi również do zaskakujących wniosków i nie wszyscy matematycy zgadzają się, by zeń korzystać). Można rzec, iż zarówno pewnik wyboru, jak i lemat Kuratowskiego-Zorna mówią wprost o intuicyjnie pojmowalnym ładzie. Wspaniałe jest to, jak ten pewnik „porządkuje wszystko”, w tym naszą myśl o Bogu. Jak napisał Meyer, „istnienie Boga jest spójne z resztą matematyki”, przynajmniej tą, która uznaje pewnik wyboru.

.Zaiste, fascynująca jest zgodność argumentów św. Tomasza z matematyką, której on nie znał, i mimo to, w mniej ścisłym języku, odkrył to samo co ona. Okazuje się, że nauki ścisłe potrafią odkryć ten sam głęboki ład, który objawiło Pismo Święte i który – jako filozofowie – znajdowali Arystoteles i Doktor Anielski[5].

Jacek Koronacki

[1] Napisałem „aż proszą się” – i jest to prawda, ale ja sam tego nie zauważyłem; zwrócił mi na ten fakt uwagę mój przyjaciel, prof. Beniamin Gołdys z Uniwersytetu w Sydney (University of Sydney). Ja zaś jako osobnik leniwy nie wziąłem się do przeprowadzenia brakującego dowodu, ale poszperałem i znalazłem go u lepszego niż ja matematyka. Sam lemat, którego treść podam dalej, znany jest na świecie raczej jako lemat Zorna, mimo że wybitny Kazimierz Kuratowski udowodnił ów lemat w roku 1922, a Max Zorn – nie znając dowodu Kuratowskiego – w roku 1935. No cóż, w Polsce, czyli nigdzie.

[2] Proszę P.T. Czytelników o odrobinę zaufania i uwierzenie mi, że te wywody matematyczne będą strawne i przebrnięcie przez nie jest warte zachodu.

[3] Sens dwóch następnych warunków jest jasny, lecz ten może się wydać tajemniczy. Ale zastąpmy nazwę „relacja porządkująca” nazwą „relacja mniejsze albo równe”. Nazwa to niezbyt zgrabna, ale wyjaśnia, o co chodzi. Tak jak w arytmetyce – np. liczba 3 jest oczywiście równa liczbie 3, 3=3, ale możemy też powiedzieć, że liczba 3 jest „mniejsza albo równa” liczbie 3. I taki jest sens tego pierwszego warunku.

[4] Lemat ten jest zwykle formułowany dla porządku odwrotnego niż nas interesujący – chodzi tam o łańcuchy ograniczone z góry oraz elementy maksymalne, ale każde z tych sformułowań jest równie poprawne.

[5] Te ostatnie dwa zdania pochodzą z listu, który napisał do mnie mój przyjaciel Beniamin.